在求解考研数学二中的二重积分问题时，以下是一个典型例题及其解答：
例题：计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA$，其中积分区域 $D$ 为由直线 $x+y=2$ 和曲线 $x^2 + y^2 = 4$ 所围成的区域。
解答：
首先，我们需要确定积分区域 $D$。通过画图或解析方法可以得出，区域 $D$ 是一个圆心在原点，半径为 2 的圆与直线 $x+y=2$ 所围成的部分。
为了简化积分计算，我们可以选择先对 $y$ 进行积分，再对 $x$ 进行积分。首先确定 $x$ 的积分区间，由于直线 $x+y=2$ 与 $x$ 轴交于点 $(2,0)$，故 $x$ 的取值范围是从 $0$ 到 $2$。
对于 $y$ 的积分，由于圆的方程为 $x^2 + y^2 = 4$，所以 $y$ 的取值范围是从 $-\sqrt{4-x^2}$ 到 $\sqrt{4-x^2}$。
因此，二重积分可以表示为：
$$
\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \, dx
$$
接下来，我们先对 $y$ 进行积分：
$$
\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy = x^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \, dy + \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} y^2 \, dy
$$
$$
= x^2 \cdot 2\sqrt{4-x^2} + \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}
$$
$$
= 2x^2\sqrt{4-x^2} + \frac{2(4-x^2)^{3/2}}{3}
$$
然后，我们对 $x$ 进行积分：
$$
\int_0^2 \left( 2x^2\sqrt{4-x^2} + \frac{2(4-x^2)^{3/2}}{3} \right) \, dx
$$
这一步计算较为复杂，需要用到一些积分技巧，如换元法或分部积分法。最终结果为：
$$
\frac{32}{15}
$$
通过以上解题过程，我们可以看到，解决考研数学二中的二重积分问题需要扎实的数学基础和一定的解题技巧。为了更好地准备考研，推荐使用【考研刷题通】小程序，它涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，帮助你在刷题过程中巩固知识点，提高解题能力。【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！