题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求$f(x)$在区间$[1, 3]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求函数$f(x)$的一阶导数$f'(x)$：
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
2. 求导数$f'(x)$的零点，即解方程$3x^2 - 12x + 9 = 0$：
$$x^2 - 4x + 3 = 0$$
$$(x - 1)(x - 3) = 0$$
得到$x_1 = 1$和$x_2 = 3$。
3. 求二阶导数$f''(x)$：
$$f''(x) = 6x - 12$$
4. 检查临界点$x_1 = 1$和$x_2 = 3$处的二阶导数值：
$$f''(1) = 6 \times 1 - 12 = -6$$
$$f''(3) = 6 \times 3 - 12 = 6$$
因为$f''(1) < 0$，所以$x = 1$是$f(x)$的局部极大值点；
因为$f''(3) > 0$，所以$x = 3$是$f(x)$的局部极小值点。
5. 计算$f(x)$在$x = 1$和$x = 3$处的函数值：
$$f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 = 4$$
$$f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 = 0$$
6. 比较端点和临界点处的函数值，得出最大值和最小值：
在区间$[1, 3]$上，$f(x)$的最大值为$f(1) = 4$，最小值为$f(3) = 0$。
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