在备战考研数学全国一卷的过程中，掌握核心知识点与解题技巧至关重要。以下是一道典型的高数题目，旨在帮助考生巩固线性代数部分的知识：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答思路：
1. 求解特征多项式：计算 \( \det(A - \lambda I) \)。
2. 解特征多项式得到特征值。
3. 对每个特征值，求解对应的特征向量。
具体步骤：
1. 特征多项式：\( \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 \)。
2. 解特征多项式：\( \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \)。
3. 解得特征值：\( \lambda_1 = 6 \)，\( \lambda_2 = -1 \)。
4. 对 \( \lambda_1 = 6 \)，解方程组 \( (A - 6I)x = 0 \) 得到特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
5. 对 \( \lambda_2 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \) 得到特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
通过以上步骤，我们成功求解了矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
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