在考研数学分析中，以下是一个典型的案例题目：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x + 9 \) 在区间 \([1, 3]\) 上连续，在区间 \((1, 3)\) 内可导。证明：存在至少一点 \( \xi \in (1, 3) \)，使得 \( f''(\xi) = 0 \)。
解析：首先，根据罗尔定理，由于 \( f(x) \) 在闭区间 \([1, 3]\) 上连续，在开区间 \((1, 3)\) 内可导，且 \( f(1) = f(3) = 0 \)，则存在 \( \eta \in (1, 3) \)，使得 \( f'(\eta) = 0 \)。
接下来，对 \( f'(x) = 3x^2 - 6 \) 进行求导，得到 \( f''(x) = 6x \)。由于 \( f''(x) \) 在 \((1, 3)\) 内连续，根据零点定理，存在 \( \xi \in (\eta, 3) \subset (1, 3) \)，使得 \( f''(\xi) = 0 \)。
因此，存在至少一点 \( \xi \in (1, 3) \)，使得 \( f''(\xi) = 0 \)。
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