复旦大学数学24考研真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：C
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，代入$x=1$，得$f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1$。
2. 设$A$是$n$阶可逆矩阵，则$A^{-1}$的秩为（ ）
A. 1 B. n C. $n-1$ D. 0
答案：B
解析：由于$A$是可逆矩阵，故$A^{-1}$存在，且$A^{-1}$也是$n$阶方阵，故$A^{-1}$的秩为$n$。
3. 设$A$是$n$阶方阵，$B$是$m$阶方阵，则$AB$的秩不大于（ ）
A. $n$ B. $m$ C. $n+m$ D. $nm$
答案：A
解析：$AB$的秩不大于$A$的秩，而$A$的秩不大于$n$。
4. 设$f(x) = e^x$，则$f'(x)$的导数为（ ）
A. $e^x$ B. $e^{2x}$ C. $e^x \cdot e^x$ D. $e^x \cdot x$
答案：A
解析：$f'(x) = e^x$，根据链式法则，$f''(x) = e^x \cdot e^x = e^{2x}$。
5. 设$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数，则下列不等式成立的是（ ）
A. $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq 0$ B. $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \leq 0$
C. $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = 0$ D. 无法确定
答案：A
解析：根据平方的性质，$a_i^2 \geq 0$，故$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq 0$。
二、填空题（每题5分，共25分）
1. 设$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(0)$的值为______。
答案：1
解析：$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$，代入$x=0$，得$f'(0) = 4$。
2. 设$A$是$n$阶方阵，$A^{-1}$的行列式为$D$，则$|A| = \frac{1}{D}$。
答案：正确
解析：根据行列式的性质，$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$，又因为$A^{-1}$是$n$阶方阵，故$|A^{-1}| = D$。
3. 设$f(x) = e^x$，则$f''(x)$的值为______。
答案：$e^x$
解析：$f'(x) = e^x$，再次求导得$f''(x) = e^x$。
4. 设$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数，则下列不等式成立的是______。
答案：$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq 0$
解析：根据平方的性质，$a_i^2 \geq 0$，故$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq 0$。
5. 设$A$是$n$阶方阵，$B$是$m$阶方阵，则$AB$的秩不大于______。
答案：$n$
解析：$AB$的秩不大于$A$的秩，而$A$的秩不大于$n$。
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f'(x)$。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 设$A$是$n$阶方阵，$A^{-1}$的行列式为$D$，求$|A|$。
答案：$|A| = \frac{1}{D}$
解析：根据行列式的性质，$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$，又因为$A^{-1}$是$n$阶方阵，故$|A^{-1}| = D$。
3. 设$f(x) = e^x$，求$f''(x)$。
答案：$f''(x) = e^x$
解析：$f'(x) = e^x$，再次求导得$f''(x) = e^x$。
4. 设$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数，证明下列不等式成立：$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq 0$。
答案：证明如下：
由平方的性质，$a_i^2 \geq 0$，故$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq 0$。
5. 设$A$是$n$阶方阵，$B$是$m$阶方阵，证明$AB$的秩不大于$n$。
答案：证明如下：
$AB$的秩不大于$A$的秩，而$A$的秩不大于$n$。
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