41. 题目：证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。
解答：
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的通项 $a_n = \frac{1}{n^2}$，其对应的级数和 $S$ 定义为：
$$
S = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
$$
首先，我们使用比较判别法。对于 $n \geq 2$，我们有 $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$。因此，
$$
S \leq 1 + \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)
$$
观察上式，我们发现它是一个望远镜级数，很多项会相互抵消，最终剩下 $1$ 和 $-\frac{1}{n}$。因此，
$$
S \leq 1 - \frac{1}{n}
$$
随着 $n \rightarrow \infty$，$\frac{1}{n} \rightarrow 0$，因此 $S$ 有界且递增。由级数的性质知，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。
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