在备战2025年考研数学二的过程中，模拟题的练习至关重要。以下是一份精心准备的模拟题，旨在帮助考生全面检验自己的数学水平：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $y = |x|$ B. $y = x^2$ C. $y = \sqrt{x}$ D. $y = \frac{1}{x}$
3. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x}$的值为（ ）
A. 0 B. $a$ C. $a^2$ D. 无穷大
4. 设$f(x) = e^x - x$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值为（ ）
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。
2. 设$a = 2$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$。
3. 设$f(x) = e^x - x$，则$f'(0) = \frac{d}{dx}(e^x - x) = e^x - 1$，代入$x = 0$得$f'(0) = 1 - 1 = 0$。
4. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
5. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$。
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的导数。
2. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x}$。
3. 求函数$f(x) = e^x - x$的导数。
4. 求矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的逆矩阵。
5. 求函数$f(x) = \ln x$的导数。
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