在考研数学二中，矩阵证明题通常考查矩阵的基本性质、矩阵的运算规则以及矩阵的秩等概念。以下是一例矩阵证明题的解题思路：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，证明 \( A^2 - 5A + 6I = O \)，其中 \( I \) 为单位矩阵。
解题步骤：
1. 计算 \( A^2 \)：首先计算矩阵 \( A \) 的平方，即 \( A \) 与 \( A \) 的乘积。
\[ A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \\ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} \]
2. 计算 \( 5A \)：接着计算矩阵 \( A \) 乘以 5。
\[ 5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix} \]
3. 计算 \( 6I \)：然后计算单位矩阵 \( I \) 乘以 6。
\[ 6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \]
4. 验证等式：最后，将 \( A^2 \) 减去 \( 5A \) 再加上 \( 6I \)，看是否等于零矩阵 \( O \)。
\[ A^2 - 5A + 6I = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O \]
通过以上步骤，我们证明了 \( A^2 - 5A + 6I = O \)。
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