09年考研数学1第二题是一道经典的极限计算题。题目如下：
已知函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求 \( \lim_{x \to 1} f(x) \)。
解题过程如下：
首先，对函数进行简化，可以分解 \( x^3 - 3x \) 和 \( x^2 - 1 \)：
\[ f(x) = \frac{x(x^2 - 3)}{(x + 1)(x - 1)} \]
当 \( x \to 1 \) 时，\( x^2 - 1 \to 0 \)，这是一个“0/0”型的未定式，可以使用洛必达法则求解。
对分子和分母同时求导：
\[ \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \]
\[ \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]
应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 3}{2x} \]
再次简化：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{3(x^2 - 1)}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)(x + 1)}{2x} \]
当 \( x \to 1 \) 时，\( x - 1 \to 0 \)，因此：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)(x + 1)}{2x} = \frac{3 \cdot 0 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 0 \]
所以，\( \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \)。
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