题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求$f(x)$的极值。
解题过程：
1. 求导数：$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
2. 求导数的零点：$3x^2 - 12x + 9 = 0$，化简得$x^2 - 4x + 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
3. 确定极值点：当$x < 1$时，$f'(x) > 0$；当$1 < x < 3$时，$f'(x) < 0$；当$x > 3$时，$f'(x) > 0$。因此，$x = 1$是$f(x)$的极大值点，$x = 3$是$f(x)$的极小值点。
4. 求极值：$f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5$，$f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = -2$。
综上所述，$f(x)$的极大值为5，极小值为-2。
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