题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函数的极值点。
解题步骤：
1. 求函数的一阶导数：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
3. 求函数的二阶导数：$f''(x)=6x-6$。
4. 分别代入$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$，得$f''(1)=-6<0$，$f''(\frac{2}{3})=0$。
5. 由于$f''(1)<0$，所以$x_1=1$是函数的极大值点；由于$f''(\frac{2}{3})=0$，需要进一步判断。在$x_2$的左侧，$f''(x)<0$，在$x_2$的右侧，$f''(x)>0$，因此$x_2=\frac{2}{3}$是函数的极小值点。
6. 计算极值：$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+1=3$，$f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3-3\times(\frac{2}{3})^2+4\times\frac{2}{3}+1=\frac{17}{27}$。
综上，函数$f(x)$的极大值点为$x_1=1$，极大值为$f(1)=3$；极小值点为$x_2=\frac{2}{3}$，极小值为$f(\frac{2}{3})=\frac{17}{27}$。
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