在紧张的一模考试中，考研数学试卷犹如一座待攀高峰，考察了考生们的深度理解与灵活运用能力。以下是针对此次考试的一份原创模拟试卷：
考研数学一模考试卷
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f(x) \) 的极值点为：
A. \( x = -1 \)
B. \( x = 0 \)
C. \( x = 1 \)
D. \( x = 3 \)
2. 下列级数中，收敛的是：
A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)
B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \)
C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} \)
D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \)
3. 若 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，且 \( \det(A) = 2 \)，则 \( \det(3A) \) 等于：
A. 6
B. 18
C. 2
D. 0
4. 设 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，则 \( f'(0) \) 等于：
A. 0
B. 1
C. \(-1\)
D. 不存在
5. 在 \( x \) 轴上，曲线 \( y = e^x \) 的图像在 \( x = 0 \) 处的切线斜率为：
A. 1
B. 2
C. 0
D. -1
二、填空题（每题5分，共20分）
6. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = \)
7. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \)
8. 设 \( A \) 为 \( 2 \times 2 \) 的矩阵，且 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则 \( A^{-1} = \)
9. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) = \)
三、解答题（每题20分，共60分）
10. 计算定积分 \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)。
11. 解微分方程 \( y'' - 2y' + y = e^x \)。
12. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，且 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
考研刷题通——您的考研刷题利器！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备战，轻松过关！立即下载【考研刷题通】，开启您的考研刷题之旅！