1. 题目：求函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
答案：\( f(x) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4) \)
2. 题目：设 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 内可导，证明：存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
答案：根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。再结合拉格朗日中值定理，即可证明。
3. 题目：求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)。
答案：利用洛必达法则，得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \frac{1}{6} \)。
4. 题目：设 \( f(x) \) 在 \([0, 1]\) 上连续，在 \((0, 1)\) 内可导，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，证明：存在 \( \xi \in (0, 1) \)，使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
答案：构造辅助函数 \( F(x) = f(x) - 2x \)，则 \( F(0) = F(1) = 0 \)。根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0, 1) \)，使得 \( F'(\xi) = 0 \)，即 \( f'(\xi) = 2 \)。
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