在数学分析的考研题中，一个典型的题目可能是：证明函数$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$在$x=0$处连续。
解答如下：
首先，我们考虑函数在$x=0$处的极限。由于$\sin(\frac{1}{x})$在$x=0$处震荡，但振幅始终在$[-1, 1]$之间，因此有：
$$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x}) = 0 \cdot \sin(\frac{1}{x}) = 0.$$
接下来，我们需要证明函数在$x=0$处连续。根据连续的定义，若$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$，则函数在$a$处连续。因此，我们只需证明$f(0) = 0$。
由题意知，$f(x)$在$x=0$处未定义，但我们可以利用连续函数的性质来处理这个问题。对于任意$x \neq 0$，有：
$$\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} \to 1 \text{ 当 } x \to 0.$$
因此，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x| < \delta$时，有：
$$\left|\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} - 1\right| < 1.$$
由于$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$，因此：
$$\left|\sin(\frac{1}{x})\right| \leq \left|\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\right| < 1 + 1 = 2.$$
所以，当$0 < |x| < \delta$时，有：
$$\left|x^2 \sin(\frac{1}{x})\right| \leq 2|x^2| < 2\delta^2.$$
因此，我们可以取$\epsilon = 2\delta^2$，使得当$0 < |x - 0| < \delta$时，有：
$$\left|f(x) - f(0)\right| = \left|x^2 \sin(\frac{1}{x})\right| < 2\delta^2 = \epsilon.$$
综上所述，函数$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$在$x=0$处连续。
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