题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函数的极值。
解答：
首先，对函数$f(x)$求导得到$f'(x)=3x^2-6x+4$。
令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
接下来，我们分别讨论$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$两侧的导数符号。
当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$左侧单调递增。
当$\frac{2}{3} 当$x>1$时，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$x=1$右侧单调递增。 因此，$x=\frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点，$x=1$是$f(x)$的极小值点。 计算$f(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}+1=\frac{35}{27}$，$f(1)=1-3+4+1=3$。 所以，$f(x)$的极大值为$\frac{35}{27}$，极小值为$3$。 【考研刷题通】——考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对考研挑战！快来加入我们，开启你的考研刷题之旅吧！