题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解题过程：
1. 求导数：\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 令导数等于零，解方程 \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)，得 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 3 \)。
3. 分析导数的符号变化：
- 当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增；
- 当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减；
- 当 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。
4. 根据导数的符号变化，可以得出 \( x = 1 \) 是极大值点，\( x = 3 \) 是极小值点。
5. 计算极值：
- 极大值 \( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 = 4 \)；
- 极小值 \( f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 = 0 \)。
综上所述，函数 \( f(x) \) 的极大值为 4，极小值为 0。
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