关键词：考研数学、每日一题、微积分
解题过程如下：
今日考研数学微积分题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
3. 判断端点和驻点的函数值：$f(1) = 3$，$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{11}{27}$，$f(2) = 3$。
4. 比较端点和驻点的函数值，得出最大值为$3$，最小值为$\frac{11}{27}$。
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