在考研数学一中，偏导数的应用广泛，以下是一例真题解析：
题目：设函数$f(x, y) = x^2y - 2xy^2 + 3x^3$，求$f$在点$(1, 2)$处的全微分。
解析：
首先，求出$f$对$x$和$y$的偏导数：
$$f_x' = 2xy - 2y^2 + 9x^2,$$
$$f_y' = x^2 - 4xy.$$
然后，代入点$(1, 2)$，得到：
$$f_x'(1, 2) = 2 \times 1 \times 2 - 2 \times 2^2 + 9 \times 1^2 = 4 - 8 + 9 = 5,$$
$$f_y'(1, 2) = 1^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 - 8 = -7.$$
最后，根据全微分的定义，$df = f_x'dx + f_y'dy$，代入上述结果，得到：
$$df = 5dx - 7dy.$$
这就是函数$f$在点$(1, 2)$处的全微分。
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