在数学分析的考研真题中，实数部分考察内容广泛，既包括实数的性质、构造和运算，也涵盖实数序列与实数函数的极限、连续性等高级概念。以下是对实数部分一些典型问题的解答：
1. 实数的性质：
- 问题：证明实数集中的平方根存在性。
- 解答：设A为非负实数集，其上定义了偏序关系“≤”。构造函数f(x) = x^2 - A，易证f(x)在A上单调递增，且f(0) = 0。由零点定理知，存在x0 ∈ A，使得f(x0) = 0，即x0^2 = A。因此，实数集中平方根存在。
2. 实数的构造：
- 问题：证明实数集可以表示为有理数集的完备化。
- 解答：构造实数集R为有理数集Q的完备化，即R包含Q，且对于任意的有理数序列{an}，若{an}收敛，则其极限必属于R。
3. 实数序列与实数函数的极限：
- 问题：证明若数列{an}收敛于a，则其子数列{bn}也收敛于a。
- 解答：设{an}收敛于a，对于任意ε > 0，存在N，使得当n > N时，|an - a| < ε。由于{bn}是{an}的子数列，因此对于任意n > N，必有bn > N，从而|bn - a| < ε。因此，{bn}也收敛于a。
4. 实数函数的连续性：
- 问题：证明若函数f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0的某个邻域内连续。
- 解答：设f(x)在点x0处连续，对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得当|x - x0| < δ时，|f(x) - f(x0)| < ε。取x1 = x0 - δ/2，x2 = x0 + δ/2，则对于任意x ∈ [x1, x2]，有|x - x0| < δ，从而|f(x) - f(x0)| < ε。因此，f(x)在x0的邻域内连续。
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