在2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一的开篇，第一题巧妙地融入了线性代数的基础知识，具体是一道涉及行列式求解的问题。该题旨在考查考生对行列式性质的理解和计算能力，同时也对考生的逻辑思维和数学运算速度提出了较高要求。以下是该题的详细解答：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，计算行列式 \( \det(A) \) 的值。
解答过程：
首先，根据行列式的定义和性质，我们知道对于 \( 3 \times 3 \) 的矩阵 \( A \)，其行列式 \( \det(A) \) 可以通过拉普拉斯展开式进行计算。这里我们选择第一行进行展开：
\[ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} - 2 \cdot \det \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} + 3 \cdot \det \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]
计算每个 \( 2 \times 2 \) 行列式的值：
\[ \det \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 \]
\[ \det \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 36 - 42 = -6 \]
\[ \det \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 \]
将这些值代入行列式计算中：
\[ \det(A) = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \]
因此，2019年考研数学一的第一题的答案是行列式 \( \det(A) = 0 \)。
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