扬州大学考研高等数学题目解析如下：
1. 题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值。
解答：首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。然后求二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，代入$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$，得$f''(1) = 0$，$f''(\frac{2}{3}) = -2$。由于$f''(1) = 0$，无法确定极值类型，需要进一步分析。当$x < 1$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；当$x > 1$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。因此，$x = 1$是极大值点，$f(1) = 3$。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；当$x > \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。因此，$x = \frac{2}{3}$是极小值点，$f(\frac{2}{3}) = \frac{5}{27}$。
2. 题目：设$a > 0$，$b > 0$，证明：$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$。
解答：由均值不等式，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$。等号成立当且仅当$a = b$。
3. 题目：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解答：由洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
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