在数学系考研的征途上，真题是检验学习成果的试金石。以下是对几道典型数学系考研真题的答案详解：
1. 线性代数题：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答：首先，求解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，得到特征值 \(\lambda_1 = 2\) 和 \(\lambda_2 = 0\)。接着，对应 \(\lambda_1 = 2\) 的特征向量是 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)，对应 \(\lambda_2 = 0\) 的特征向量是 \( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
2. 概率论题：设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，求 \(P(X = 3)\)。
解答：泊松分布的概率质量函数为 \(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)。代入 \(\lambda = 3\)，得 \(P(X = 3) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}\)。
3. 数列极限题：设数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}\)，求 \(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
解答：这是一个典型的递推数列问题。首先，我们可以写出前几项：\(a_1 = a_0 + 1\)，\(a_2 = a_1 + \frac{1}{2}\)，以此类推。累加得到 \(a_n = a_0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\)。当 \(n\) 趋于无穷大时，根据调和级数的性质，\(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\)。
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