在科大数学专业考研的考场上，考生们笔走龙蛇，解答着一系列考验逻辑思维与计算能力的难题。以下是几道典型的科大数学专业考研考试题：
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求证：\( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上存在零点。
2. 设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，证明：如果 \( A \) 的特征值全部为正，则 \( A \) 可逆。
3. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \)。
4. 设 \( P \) 为 \( R^3 \) 中的一个非零向量，证明：存在一个 \( R^3 \) 中的二次型 \( Q \)，使得 \( Q(P) = 0 \)。
5. 在平面直角坐标系中，已知点 \( A(1, 2) \)，点 \( B \) 在直线 \( y = 3x - 4 \) 上，且 \( \angle ABO = 90^\circ \)，求点 \( B \) 的坐标。
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