在解答21考研数学二第5题之前，我们先来解析一下这道题的关键点。本题主要考察线性代数中的矩阵运算和线性方程组的解法。具体解题步骤如下：
1. 首先观察矩阵A的特征值和特征向量，判断矩阵A是否可对角化。
2. 若矩阵A可对角化，则求出矩阵A的特征值和特征向量，构造对角矩阵P，使得P^-1AP = D。
3. 若矩阵A不可对角化，则求出矩阵A的任意一个特征值λ的对应特征向量v，以及满足(A-λI)v ≠ 0的向量v1，构造矩阵P = [v v1]，则P^-1AP = PDP^-1。
下面给出具体的解答步骤：
步骤一：求矩阵A的特征值
设矩阵A的特征值为λ，则满足以下方程：
det(A - λI) = 0
步骤二：求矩阵A的特征向量
对于每个特征值λ，求出对应的特征向量v，使得(A - λI)v = 0。
步骤三：判断矩阵A是否可对角化
如果矩阵A可对角化，那么对于每个特征值λ，都存在一个对应的特征向量v，使得(A - λI)v = 0，且这些特征向量线性无关。
步骤四：构造对角矩阵P和求逆矩阵P^-1
根据步骤三，构造对角矩阵D，使得D = diag(λ1, λ2, ..., λn)，其中λ1, λ2, ..., λn是矩阵A的特征值。然后构造矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，其中v1, v2, ..., vn是矩阵A对应的特征向量。求出逆矩阵P^-1。
步骤五：计算A的幂
根据PDP^-1 = A，求出A的幂A^n。
以上是21考研数学二第5题的解答思路，希望对您有所帮助。若您在考研复习过程中需要更多练习题，可以尝试使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】。该小程序涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备考！
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