考研数学二卷试题及答案如下：
试题一：
设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
答案一：
首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。
当 \( x < -1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；
当 \( -1 < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；
当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。
因此，\( x = -1 \) 是极大值点，\( x = 1 \) 是极小值点。
试题二：
已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案二：
求特征值，解方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，得到特征值 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 0 \)。
对于 \( \lambda_1 = 2 \)，解方程 \( (A - 2I)v = 0 \)，得到特征向量 \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 0 \)，解方程 \( (A - 0I)v = 0 \)，得到特征向量 \( v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
试题三：
设 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f(x) \) 的傅里叶级数展开式。
答案三：
由于 \( f(x) \) 是周期为 \( 2\pi \) 的函数，其傅里叶级数展开式为：
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
其中，
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin x \, dx \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin x \cos(nx) \, dx \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin x \sin(nx) \, dx \]
通过计算得到 \( a_0 \)、\( a_n \) 和 \( b_n \) 的具体值，即可得到 \( f(x) \) 的傅里叶级数展开式。
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