关键词：考研数学、每日一题、12题
今日考研数学每日一题，挑战极限，突破自我！
1. 若函数 \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) 在 \( x = 0 \) 处可导，求 \( f'(0) \) 的值。
2. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \) 的值。
3. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A^2 \)。
4. 解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \)。
5. 已知 \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx = \frac{1}{2} \)，求 \( \int_0^1 x^3 e^x \, dx \) 的值。
6. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，有 \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)。
7. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) 的值。
8. 解方程组 \( \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ x - y = 1 \end{cases} \)。
9. 若 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{4} \)，求 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \) 的值。
10. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，若 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的特征值只有 \( 0 \)。
11. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x + 9 \) 的极值。
12. 证明：对于任意的实数 \( a \) 和 \( b \)，有 \( (a + b)^2 \geq 4ab \)。
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