在数分高代数学考研题的海洋中，考生们需要掌握扎实的理论基础和高效的解题技巧。以下是一些精选的考研题目，旨在帮助考生们全面提升解题能力：
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，证明：$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$。
2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2x^2 + 3y$。
3. 设$A$为$n$阶方阵，$A^2 = 0$，证明$A$不可逆。
4. 已知线性空间$V$，基为$\{v_1, v_2, v_3\}$，求向量$\alpha = 2v_1 - v_2 + 3v_3$在该基下的坐标。
5. 设$A$为$n$阶对称矩阵，证明$A$的特征值均为实数。
6. 求解行列式$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right|$。
7. 设$A$为$n$阶矩阵，$A^2 = 0$，证明$A$的零空间维数至少为$n-1$。
8. 求解线性方程组$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x - y + 2z = 3 \end{cases}$。
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