题目：求解以下不定积分 $\int \frac{x^2}{(x^2-1)^2}dx$
解答：
首先，对被积函数进行简化处理：
$$
\int \frac{x^2}{(x^2-1)^2}dx = \int \frac{x^2-1+1}{(x^2-1)^2}dx = \int \frac{1}{x^2-1}dx + \int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx
$$
对第一个积分，使用换元法：
令 $u = x^2 - 1$，则 $du = 2xdx$，即 $dx = \frac{du}{2x}$。
原式变为：
$$
\int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{x}
$$
由于 $\frac{1}{x}$ 为常数，可以提出来：
$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C_1
$$
对第二个积分，使用部分分式法：
$$
\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx = \int \frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2}dx
$$
设 $A, B, C, D$ 为常数，则有：
$$
\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}
$$
通过比较系数，可以得到：
$$
A = 0, B = \frac{1}{4}, C = 0, D = -\frac{1}{4}
$$
因此：
$$
\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x-1)^2}dx - \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x+1)^2}dx
$$
使用换元法，令 $v = x-1$ 和 $w = x+1$，则 $dv = dx$ 和 $dw = dx$。
原式变为：
$$
\frac{1}{4} \int \frac{1}{v^2} dv - \frac{1}{4} \int \frac{1}{w^2} dw = -\frac{1}{4v} - \frac{1}{4w} + C_2 = -\frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{4(x+1)} + C_2
$$
将两部分合并，得到：
$$
\int \frac{x^2}{(x^2-1)^2}dx = \frac{1}{2} \ln|x^2-1| - \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{4(x+1)} + C
$$
其中，$C = C_1 + C_2$ 为常数。
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