题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求函数的极值点。
解答：
首先，求函数的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
然后，令导数等于零，解方程求极值点：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
得到 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
接下来，求二阶导数 \( f''(x) \) 以判断极值类型：
\[ f''(x) = 6x - 12 \]
将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别代入二阶导数：
\[ f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \]
\[ f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \]
由于 \( f''(1) < 0 \)，所以在 \( x = 1 \) 处函数取得极大值；
由于 \( f''(3) > 0 \)，所以在 \( x = 3 \) 处函数取得极小值。
计算极值：
\[ f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0 \]
因此，函数的极大值为 4，极小值为 0。
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