关键词：五邑大学 考研 数学二 题目
五邑大学考研数学二的题目如下：
【题目】设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的左导数和右导数。
【解答】首先，我们求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的左导数 \( f'_-(1) \) 和右导数 \( f'_+(1) \)。
1. 计算 \( f'_-(1) \)：
\[ f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \]
由于 \( f(1) \) 无定义，我们需要对 \( f(x) \) 进行简化：
\[ f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 - 3)}{(x - 1)(x + 1)} \]
当 \( x \to 1^- \) 时，\( x^2 - 3 \) 无限接近于 \( -2 \)，而 \( x - 1 \) 无限接近于 \( 0 \) 的负数，所以我们可以使用洛必达法则：
\[ f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{3x^2 - 3}{2x} = \lim_{x \to 1^-} \frac{3(x^2 - 1)}{2x} = \frac{3 \cdot 0}{2 \cdot 1} = 0 \]
2. 计算 \( f'_+(1) \)：
\[ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \]
同样地，由于 \( f(1) \) 无定义，我们简化 \( f(x) \)：
\[ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \]
使用洛必达法则：
\[ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{3x^2 - 3}{2x} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3(x^2 - 1)}{2x} = \frac{3 \cdot 0}{2 \cdot 1} = 0 \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的左导数和右导数均为 0。
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