2020年考研数学三第三题是一道涉及多元函数微分学的题目。题目要求计算二元函数 \( f(x,y) = e^{xy} \) 在点 \( (1,1) \) 处的全微分。解题步骤如下：
1. 首先求出函数 \( f(x,y) \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy}
\]
2. 然后计算这些偏导数在点 \( (1,1) \) 处的值：
\[
\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1)} = 1 \cdot e^{1 \cdot 1} = e, \quad \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1)} = 1 \cdot e^{1 \cdot 1} = e
\]
3. 根据全微分的定义，函数 \( f(x,y) \) 在点 \( (1,1) \) 处的全微分 \( df \) 为：
\[
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = e dx + e dy
\]
因此，\( f(x,y) \) 在点 \( (1,1) \) 处的全微分是 \( df = e dx + e dy \)。
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