题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，证明：当 \( x \) 趋于无穷大时，\( f(x) \) 的极限为 0，并求出 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
解答：
首先，我们证明 \( f(x) \) 当 \( x \) 趋于无穷大时的极限为 0。
由于 \( x^2 \) 当 \( x \) 趋于无穷大时也趋于无穷大，所以 \( 1+x^2 \) 也趋于无穷大。因此，\( \frac{1}{1+x^2} \) 趋于 0。
接下来，我们求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
\( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 的导数为 \( f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)。
\( f''(x) = \frac{2(1-3x^2)}{(1+x^2)^3} \)。
\( f'''(x) = \frac{2(9x^2-15)}{(1+x^2)^4} \)。
将 \( x = 0 \) 代入 \( f(x) \)，\( f'(x) \)，\( f''(x) \)，\( f'''(x) \) 中，得到：
\( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = 0 \)，\( f''(0) = 2 \)，\( f'''(0) = 0 \)。
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式为：
\( f(x) = 1 + 2x^2 + o(x^2) \)。
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