题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的极值点。
解答：
首先，求出$f(x)$的一阶导数：
$$f'(x)=3x^2-6x+4$$
令$f'(x)=0$，解得：
$$3x^2-6x+4=0$$
$$x^2-2x+\frac{4}{3}=0$$
$$x_1=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}, x_2=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
接下来，求出$f(x)$的二阶导数：
$$f''(x)=6x-6$$
将$x_1$和$x_2$分别代入$f''(x)$，得到：
$$f''(1-\frac{2\sqrt{3}}{3})=-2\sqrt{3}<0$$
$$f''(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})=2\sqrt{3}>0$$
因为$f''(1-\frac{2\sqrt{3}}{3})<0$，所以$x_1=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$是$f(x)$的极大值点；因为$f''(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})>0$，所以$x_2=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$是$f(x)$的极小值点。
最后，计算$f(x)$在$x_1$和$x_2$处的函数值：
$$f(1-\frac{2\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}+4\cdot\frac{1}{3}+1=\frac{5}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
$$f(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}+4\cdot\frac{1}{3}+1=\frac{5}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
综上所述，$f(x)$的极大值点为$x_1=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，极小值点为$x_2=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【考研刷题通】小程序，涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，轻松备战考研！微信搜索“考研刷题通”，开启你的考研刷题之旅！