在考研数学的征途上，每一道题都是对智慧的磨砺。下面，我将为你展示一道典型的考研数学题目，高清解析，助你一臂之力。
题目：设函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$，求$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最大值和最小值。
解答过程：
1. 首先求出函数$f(x)$的一阶导数：$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$。
3. 求出$f(x)$的二阶导数：$f''(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2}$。
4. 将$x = 1$代入$f''(x)$，得$f''(1) = \frac{1}{2} > 0$，说明$x = 1$是$f(x)$的极小值点。
5. 由于$f(x)$在$(0, +\infty)$上连续，且$f(x)$在$x = 1$处取得极小值，故$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最小值为$f(1) = 1$。
6. 由于$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减，故$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最大值为$f(0^+) = +\infty$。
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