华罗庚的数学竞赛试题历来以高难度和深度著称，若以此为基础编写考研数学题目，以下是一道原创题目：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，证明存在实数$\alpha$和$\beta$，使得$f(\alpha) = 0$且$f'(\beta) = 0$，且$\alpha + \beta = 3$。
解析：首先，根据连续函数的介值定理，因为$f(0) = 1 > 0$，$f(3) = 1 > 0$，且$f(x)$在闭区间$[0,3]$上连续，所以存在$\alpha \in (0,3)$，使得$f(\alpha) = 0$。接着，求导得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，同样因为$f'(0) = 9 > 0$，$f'(3) = 0$，且$f'(x)$在闭区间$[0,3]$上连续，根据零点定理，存在$\beta \in (0,3)$，使得$f'(\beta) = 0$。最后，由于$f'(\beta) = 0$，则$3\beta^2 - 12\beta + 9 = 0$，解得$\beta = 1$或$\beta = 3$。若$\beta = 3$，则$\alpha = 0$，与$\alpha \in (0,3)$矛盾，因此$\beta = 1$，所以$\alpha + \beta = 3$。
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