在考研数学的备考过程中，积分题是考察考生微积分基础知识和应用能力的重要题型。以下是一道典型的考研数学积分真题：
题目：计算不定积分 $\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} \, dx$。
解题思路：
1. 首先，观察被积函数 $\frac{x^3}{(x^2+1)^2}$，可以发现其分母可以分解为 $(x^2+1)^2$，而分子 $x^3$ 可以通过凑微分法转化为与分母相关的形式。
2. 具体操作为：令 $u = x^2 + 1$，则 $du = 2x \, dx$，从而 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。
3. 将上述变换代入原积分，得到 $\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u^2} \, du$。
4. 接下来，对 $\frac{u-1}{u^2}$ 进行分解，得到 $\frac{u-1}{u^2} = \frac{u}{u^2} - \frac{1}{u^2} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}$。
5. 将分解后的表达式代入积分，得到 $\frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}\right) \, du$。
6. 对上述积分进行计算，得到 $\frac{1}{2} \left(\ln |u| + \frac{1}{u}\right) + C$。
7. 最后，将 $u = x^2 + 1$ 代回原表达式，得到最终答案为 $\frac{1}{2} \left(\ln |x^2+1| + \frac{1}{x^2+1}\right) + C$。
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