在高等数学考研的征程中，定理的理解与应用是不可或缺的利器。以下是一些关键定理及其在真题中的应用解析：
1. 罗尔定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等，则在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数为零。
应用实例：证明函数在特定区间内至少有一个零点。
2. 拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得函数在该点的导数等于区间端点函数值的平均变化率。
应用实例：计算函数在区间上的平均变化率，并找到满足条件的点。
3. 柯西中值定理：若两个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且导数处处不为零，则至少存在一点，使得两个函数在该点的导数成比例。
应用实例：证明两个函数在某区间内具有相同的增长速度。
4. 泰勒公式：若函数在某点及其邻域内可导，则函数在该点的泰勒展开式可以精确表示函数在该邻域内的行为。
应用实例：用泰勒公式近似计算函数在某点的值。
5. 傅里叶级数：若函数在区间上可积，则可以将其展开为傅里叶级数。
应用实例：将周期函数展开为傅里叶级数，并利用级数求解问题。
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