考研数学三的定理证明题通常要求考生具备扎实的理论基础和严谨的推理能力。以下是一个示例题目及其解答：
题目： 证明：若函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) < f(b) \)，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
解答：
1. 设 \( F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x \)，其中 \( x \in [a, b] \)。
2. 显然，\( F(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}a < 0 \)。
3. 同时，\( F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}b > 0 \)。
4. 因为 \( F(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \( F(a) \cdot F(b) < 0 \)，根据零点定理，存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( F'(\xi) = 0 \)。
5. 由 \( F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)，得 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
以上即为该题的证明过程。要想在考研数学三中取得优异成绩，不断刷题是关键。推荐使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备战！【考研刷题通】