在考研数学三中，定理证明题是考察考生逻辑推理能力和数学基础知识的重头戏。以下是一个原创的定理证明题及其解答：
题目：证明：设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) = f(b)$，则存在至少一点$c \in (a, b)$，使得$f'(c) = 0$。
解答：
1. 首先，根据题意，函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) = f(b)$。
2. 由于$f(x)$在$[a, b]$上连续，根据闭区间上连续函数的性质，$f(x)$在$[a, b]$上必定取得最大值和最小值。
3. 假设$f(x)$在$[a, b]$上取得的最小值在$x = c$处，即$f(c) \leq f(x)$，对于所有$x \in [a, b]$。
4. 如果$f(c) = f(a)$或$f(c) = f(b)$，则由罗尔定理知，存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
5. 如果$f(c) < f(a)$且$f(c) < f(b)$，则由介值定理知，存在$\eta \in (a, c)$和$\theta \in (c, b)$，使得$f(\eta) = f(\theta)$。
6. 根据罗尔定理，存在$\xi \in (\eta, \theta)$，使得$f'(\xi) = 0$。
7. 综上所述，无论哪种情况，都存在至少一点$c \in (a, b)$，使得$f'(c) = 0$。
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