在矩阵的秩等于其行数时，该矩阵必定是可逆的。若一个二次型通过正交变换可化为标准形，则其正负惯性指数之和等于其秩。设矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \)，则 \( A^3 \) 的特征值为 \( \lambda_1^3, \lambda_2^3, \lambda_3^3 \)。对于线性方程组 \( Ax = 0 \)，若 \( r(A) = r \)，则其基础解系的解向量的个数等于 \( n - r \)，其中 \( n \) 是方程组的未知数个数。
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