在求解高等数学考研题目时，以下是一个典型的题目及其解答过程：
题目： 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
解答过程：
1. 求导数： 首先对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 求临界点： 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。这两个点都是区间 \([1, 3]\) 内的临界点。
3. 检查端点： 由于区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 也可能是极值点，我们需要计算 \( f(1) \) 和 \( f(3) \)。
4. 计算函数值：
- \( f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 4 \)
- \( f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 0 \)
5. 比较值： 在区间 \([1, 3]\) 内，\( f(1) = 4 \) 是最大值，\( f(3) = 0 \) 是最小值。
结论： 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值为 4，最小值为 0。
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