题目：求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 在区间 \([1, 3]\) 上的极值。
解析：
1. 首先求出函数的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 将导数设为零，求出驻点：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x-1)(x-3) = 0 \]
\[ x = 1 \quad \text{或} \quad x = 3 \]
3. 检查区间 \([1, 3]\) 内的驻点和端点处的函数值：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = -1 \]
4. 因为在 \( x = 1 \) 处，导数从正变负，所以 \( x = 1 \) 是局部极大值点，极大值为 \( 5 \)。
在 \( x = 3 \) 处，导数从负变正，所以 \( x = 3 \) 是局部极小值点，极小值为 \( -1 \)。
因此，函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 在区间 \([1, 3]\) 上的极大值为 \( 5 \)，极小值为 \( -1 \)。
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