在考研数学中，线性代数部分是至关重要的。以下是一道典型的线性代数题目：
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答：首先，我们需要求出特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \(I\) 是单位矩阵，\(\lambda\) 是特征值。计算如下：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} \]
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 \]
解这个二次方程，得到特征值：
\[ \lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = 6 \]
接下来，我们求对应的特征向量。对于 \(\lambda_1 = -1\)，解线性方程组：
\[ (A + I)x = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
这个方程组的通解是 \(x_1 = -x_2\)，所以特征向量可以取 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \(\lambda_2 = 6\)，解线性方程组：
\[ (A - 6I)x = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
这个方程组的通解是 \(2x_1 = 3x_2\)，所以特征向量可以取 \( \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
通过以上步骤，我们得到了矩阵 \(A\) 的所有特征值和对应的特征向量。
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