在考研数学中，介值定理是实变函数论中的一个重要概念，它揭示了连续函数在闭区间上的性质。以下是一道关于介值定理的真题示例：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在区间$[-1, 2]$上连续，证明：存在$\xi \in (-1, 2)$，使得$f'(\xi) = 0$。
解析：首先，我们计算$f(-1)$和$f(2)$的值：
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4,$$
$$f(2) = 2^3 - 3 \times 2 + 2 = 2.$$
由于$f(-1) > 0$且$f(2) < 0$，根据零点定理，存在$\eta \in (-1, 2)$，使得$f(\eta) = 0$。
接下来，我们证明存在$\xi \in (-1, 2)$，使得$f'(\xi) = 0$。由于$f(x)$在$[-1, 2]$上连续，且在$(\eta, 2)$上可导，根据罗尔定理，存在$\xi \in (\eta, 2)$，使得$f'(\xi) = 0$。
综上，我们证明了存在$\xi \in (-1, 2)$，使得$f'(\xi) = 0$。
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