2018年考研数二数学解析如下：
一、选择题
1. 一元二次方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$ 的根为：
A. $x_1 = 1, x_2 = 1$
B. $x_1 = -1, x_2 = 1$
C. $x_1 = 1, x_2 = -1$
D. $x_1 = -1, x_2 = -1$
答案：A
解析：这是一个完全平方公式，可以直接得到 $x_1 = x_2 = 1$。
2. 下列函数中，连续的是：
A. $f(x) = |x|$，定义域为 $x \geq 0$
B. $f(x) = \frac{1}{x}$，定义域为 $x \neq 0$
C. $f(x) = \sqrt{x}$，定义域为 $x \geq 0$
D. $f(x) = x^2$，定义域为 $x \in \mathbb{R}$
答案：C
解析：选项A、B、D的定义域中存在间断点，而选项C的定义域为 $x \geq 0$，函数在该区间内连续。
3. 若 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则 $f'(1)$ 的值为：
A. $1$
B. $-1$
C. $2$
D. $0$
答案：A
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，将 $x = 1$ 代入得 $f'(1) = 1$。
二、填空题
1. 设 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则 $f'(1)$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
解析：利用导数的定义和求导法则，可得 $f'(x) = \frac{2x}{x - 1}$，将 $x = 1$ 代入得 $f'(1) = \frac{1}{2}$。
2. 设 $f(x) = \ln(x + 1)$，则 $f'(0)$ 的值为 $1$。
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = \frac{1}{x + 1}$，将 $x = 0$ 代入得 $f'(0) = 1$。
三、解答题
1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 的极值。
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = \frac{2}{3}$。当 $x < \frac{2}{3}$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；当 $\frac{2}{3} < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。所以 $x = \frac{2}{3}$ 是极大值点，$x = 1$ 是极小值点。计算得 $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{11}{27}$，$f(1) = 1$。
2. 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解析：利用洛必达法则，对分子和分母同时求导得 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
【考研刷题通】——您的考研刷题神器！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助您轻松备战考研！快来下载体验吧！