2011年考研数学二试题解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$在$x=1$处的切线斜率为：
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
答案：C
解析：求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，代入$x=1$得$f'(1) = -1$。
2. 下列函数中，连续且可导的是：
A. $f(x) = |x|$ B. $g(x) = x^2$ C. $h(x) = \frac{1}{x}$ D. $k(x) = x^3$
答案：B
解析：$f(x) = |x|$在$x=0$处不可导，$h(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不可导，$k(x) = x^3$在$x=0$处不可导。
3. 设$a>0$，函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则：
A. $a>0$，$b<0$，$c>0$ B. $a>0$，$b>0$，$c>0$ C. $a>0$，$b<0$，$c<0$ D. $a>0$，$b>0$，$c<0$
答案：A
解析：由顶点坐标$(1,2)$，得$f(1) = a + b + c = 2$，$f'(1) = 2a + b = 0$，解得$a>0$，$b<0$，$c>0$。
二、填空题
4. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$，则$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2 - 1}) = \frac{2}{(x^2 - 1)^2}$。
5. 设$a=2$，$b=3$，则$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3^2 = 25$。
三、解答题
6. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
答案：1
解析：利用洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
7. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
答案：最大值为$f(2) = 2$，最小值为$f(1) = 0$。
解析：求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$得$x=1$或$x=2$。将$x=1$和$x=2$代入$f(x)$，得$f(1) = 0$，$f(2) = 2$。
8. 设$a>0$，$b>0$，$c>0$，证明：$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq 0$。
答案：证明：$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \geq 0$。
解析：由于$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$，$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc$，所以$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \geq 0$。
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