在考研数学解析几何选择题中，关键在于灵活运用公式和掌握图形的性质。以下是一例题目及解答：
题目：已知椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，点 $P(1,1)$ 在椭圆内部，求过点 $P$ 且与椭圆相切的直线方程。
解答：设过点 $P$ 的切线方程为 $y-1=k(x-1)$，即 $kx-y-k+1=0$。由于切线与椭圆相切，因此切线到椭圆的距离等于椭圆的半长轴。
根据点到直线的距离公式，切线到椭圆的距离为：
$$d = \frac{|2k-1-k+1|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$$
又因为椭圆的半长轴为 $a=2$，所以有：
$$\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}} = 2$$
解得 $k = \pm \sqrt{3}$。因此，过点 $P$ 且与椭圆相切的直线方程为 $y-1=\pm \sqrt{3}(x-1)$。
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