数学二考研最后一题通常是一道综合性的大题，要求考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。以下是对这类题目的原创解答思路：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a$，其中$a$为常数。若$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$的值，并讨论$f(x)$的单调性。
解答思路：
1. 首先对$f(x)$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
2. 由于$f(x)$在$x=1$处取得极值，故$f'(1) = 0$。将$x=1$代入$f'(x)$，解得$a=0$。
3. 将$a=0$代入$f(x)$，得到$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$。
4. 再次对$f(x)$求导，得到$f''(x) = 6x - 12$。
5. 令$f''(x) = 0$，解得$x=2$。由于$f''(x)$在$x=2$处由负变正，故$x=2$是$f(x)$的极小值点。
6. 根据$f''(x)$的符号变化，可知$f(x)$在$x<2$时单调递减，在$x>2$时单调递增。
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