在考研数学一模考试中，考生们将面临一系列综合性的题目，以下是一组原创的模拟试题，涵盖了解析几何、概率统计、线性代数等多个知识点：
1. 解析几何题：
已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一个焦点为 \(F(0, c)\)，其中 \(c^2 = a^2 - b^2\)。若直线 \(y = kx\) 与椭圆相切，求 \(k\) 的值。
2. 概率统计题：
某班级有男生和女生共30人，随机抽取3人参加比赛。求抽到2名男生和1名女生的概率。
3. 线性代数题：
设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 的矩阵，且 \(A^2 = A\)。证明 \(A\) 是可逆矩阵，并求出 \(A\) 的特征值。
4. 微积分题：
计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^3}\)。
5. 复数题：
设 \(z = 1 + i\)，求 \(z^5\) 的值。
答案：
1. \(k = \pm \frac{b}{a}\)
2. \(\frac{1}{10}\)
3. \(A\) 是可逆矩阵，特征值为 \(0, 1, 1\)
4. \(\frac{9}{2}\)
5. \(z^5 = 32i\)
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