题目：在函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$中，求其导数$f'(x)$，并说明函数的极值点。
答案：首先，我们求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$的导数。根据导数的定义和运算法则，我们有：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(1)$$
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
接下来，为了找到函数的极值点，我们需要令导数等于零，即解方程：
$$3x^2 - 12x + 9 = 0$$
通过因式分解或使用求根公式，我们可以得到：
$$x^2 - 4x + 3 = 0$$
$$(x - 1)(x - 3) = 0$$
所以，$x = 1$ 或 $x = 3$。
为了确定这些点是极大值点还是极小值点，我们需要检查导数的符号变化。通过导数表或直接代入，我们可以发现：
- 当$x < 1$时，$f'(x) > 0$，函数在$x = 1$左侧是增函数。
- 当$1 < x < 3$时，$f'(x) < 0$，函数在$x = 1$和$x = 3$之间是减函数。
- 当$x > 3$时，$f'(x) > 0$，函数在$x = 3$右侧是增函数。
因此，$x = 1$是函数的极大值点，$x = 3$是函数的极小值点。
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